조선공학 — 선박의 복원성

G · B · M과 복원정 GZ

무게중심 G : 배 전체(선체+엔진+화물+승객 등)의 무게중심으로, 2차시에서 배운 바로 그 개념입니다.

부심 B : 배가 밀어낸 물(배수량)의 부피, 즉 '물에 잠긴 부분의 형상'의 무게중심입니다. 부력은 바로 이 B에서 위쪽으로 작용합니다 — 7차시에서 다룬 3차원 입체(원뿔)의 무게중심과 같은 종류의 계산입니다.

메타센터 M : 배가 아주 작은 각도로 기울어질 때, 새로 이동한 부심 B′을 지나는 부력의 작용선이 처음의 대칭축과 다시 만나는 점입니다. 작은 기울기 범위에서는 이 점이 거의 고정되어 있다고 볼 수 있습니다.

• $GM>0$ (M이 G보다 위) ⟹ θ가 커질수록 GZ>0, 복원 우력 발생 → 안정
• $GM<0$ (M이 G보다 아래) ⟹ GZ<0, 오히려 기우는 방향으로 모멘트 발생 → 전복 위험

GZ 계산 실습과 화물 적재 문제

(1) GM=1.4 m인 배가 θ=10°, 20°, 30°로 기울었을 때 각각의 복원정 GZ를 계산하시오. (sin10°≈0.1736, sin20°≈0.3420, sin30°=0.5)

(2) [화물 적재와 무게중심 이동] 빈 배의 무게는 $W_0=5000$톤이며 용골(배 바닥)로부터 무게중심까지의 높이는 $G_0=4.0$ m이다. 이제 갑판 위 높이 8.5 m 지점에 화물 $W_c=800$톤을 실었다. 화물을 실은 후 배 전체의 무게중심 높이 $G_{new}$를 구하시오. (2차시의 가중평균 공식을 그대로 사용한다.)

(3) 이 배의 메타센터 높이는 (용골 기준) M=5.2 m로 거의 일정하다고 하자. 화물을 싣기 전과 후의 GM을 각각 구하고, 화물 적재가 배의 복원성에 어떤 영향을 주는지 설명하시오.

작은 각도, 그리고 극한 — 3차시 극한 개념과의 연결

각도 θ를 라디안으로 잴 때, θ가 아주 작으면 $\sin\theta\approx\theta$라는 근사가 성립합니다 (이는 나중에 미적분Ⅱ에서 극한 $\lim_{\theta\to0}\sin\theta/\theta=1$로 배우게 됩니다).

그렇다면 θ가 작을 때 $GZ=GM\cdot\sin\theta\approx GM\cdot\theta$이므로, GZ 곡선의 원점 부근 기울기는 거의 정확히 GM과 같습니다 — 위 위젯에서 '작은각 근사선'을 켜고 θ를 작게 두면 두 곡선이 거의 겹치는 것을 볼 수 있습니다.

즉 조선공학자는 배를 살짝만 기울여 본 뒤 그 초기 반응(기울기)만 측정해도 GM을 추정할 수 있습니다. 극한적 사고(아주 작은 변화만 보는 것)가 실제로 배의 안전성을 재는 도구가 되는 셈입니다.