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이산에서 대수로 — 지렛대 원리를 공식화하고, 점·선·면의 무게중심이 다를 수 있음을 좌표로 확인한 뒤, 좌표평면 위 무게중심 공식을 일반화합니다.
| 활동1 | 지렛대 원리 공식화 및 시소 문제 계산 | 10분 |
| 활동2 | 1차원 무게중심 실험 (균형점 계산) | 10분 |
| 활동3 | 다각형 무게중심의 세 관점 : 점 · 선 · 면 | 15분 |
| 활동4 | 2차원 무게중심 공식 유도 및 일반화 | 10분 |
| 정리 | 공식 정리 및 차시 예고 | 5분 |
막대의 양 끝에 질량이 각각 $m_1, m_2$인 물체가 있고, 받침대로부터 각각 거리 $d_1, d_2$만큼 떨어져 있을 때, $m_1 d_1 = m_2 d_2$가 성립하면 그 막대는 균형(평형)을 이룬다.
(1) 1차시의 시소 문제 : 40kg 학생이 받침점에서 x m, 80kg 학생이 0.5m 떨어져 평형을 이룰 때, x를 구하시오.
(2) 받침점 오른쪽 0.5m 지점에 어떤 학생이 앉아 있고, 왼쪽 1m 지점에 20kg인 학생이 앉아 평형을 이루었다. 오른쪽 학생의 몸무게 m을 구하시오.
여러 개의 추가 하나의 막대(수직선)에 매달려 있을 때, 균형이 잡히는 지점(무게중심) $\bar{x}$는 다음과 같이 구한다.
(1) 눈금 6에 추 1개, 눈금 12에 추 2개가 있다. 어느 위치(눈금)에서 균형을 이룰까?
(2) 눈금 2에 추 1개, 눈금 6에 추 2개, 눈금 10에 추 3개가 있다. 어느 위치에서 균형을 이룰까?
같은 도형이라도 '무엇의 무게중심'을 구하느냐에 따라 결과가 달라질 수 있다. 좌표평면 위의 네 점 O(0,0), A(3,0), B(3,1), C(0,2)로 확인해 보자.
(1) [점의 무게중심] 네 점 O, A, B, C의 무게중심(단순 좌표 평균)을 구하시오.
(2) [면의 무게중심] O→A→B→C 순서로 이은 사각형(넓이를 가진 도형)의 무게중심을 구하시오. (힌트 : 대각선 OB로 나누어 두 삼각형 OAB, OBC의 넓이와 무게중심을 각각 구한 뒤, 공리6을 이용해 넓이로 가중평균한다.)
(3) 두 결과, (1.5, 0.75)와 (4/3, 7/9)를 비교해 보자. 일치하는가?
세 점 $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), C(x_3,y_3)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심 G의 좌표를 구하시오. (힌트 : x좌표와 y좌표에 각각 1차원 무게중심 공식을 적용한다. 세 꼭짓점의 '무게'는 모두 같다고 생각하자.)
일반화 : n개의 무게 $m_1,\dots,m_n$을 가진 질점들이 좌표평면 위의 점 $(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)$에 놓여 있다고 하자. x축, y축에 대한 전체 모멘트 $M_x, M_y$와 무게중심의 좌표 $(\bar x,\bar y)$를 구하시오.
| 대상 | 공식 |
|---|---|
| 1차원 질점 | $\bar x = \sum m_ix_i / \sum m_i$ |
| 2차원 질점(다각형 꼭짓점) | $\bar x = M_y/\sum m_i,\ \bar y = M_x/\sum m_i$ |
| 도형의 넓이로 가중평균 | 여러 조각의 넓이를 '질량'처럼 사용해 가중평균 |
지금까지는 '점(질점)'의 무게중심을 계산했습니다. 만약 무게중심을 구하려는 대상이 매끈한 '곡선으로 둘러싸인 도형'이라면 어떻게 해야 할까요? 다음 시간에는 무한히 잘게 쪼개는 아이디어로 이 문제에 도전합니다.
오늘은 무게중심을 좌표와 공식으로 계산하는 방법을 배웠습니다. 다음 시간에는 곡선으로 둘러싸인 도형의 무게중심을 리만합으로 근사하며, 정적분의 아이디어를 예고합니다.