무한히 쌓고, 무한히 쪼개기

블록 쌓기 실험

준비물 : 한 변의 길이가 같은 블록(또는 책) 6개 이상

문제 : 동일한 블록을 한 개씩 어긋나게 쌓아, 맨 위 블록 전체가 책상 밖으로 완전히 튀어나와 허공에 뜨게 만들려면 최소 몇 개의 블록이 필요할까요?

책상의 모서리를 원점 0으로, 오른쪽을 양의 방향으로 둡니다. 맨 위 블록이 무너지지 않으려면 매 단계마다 위쪽 블록들 전체의 무게중심이 정확히 아래 블록의 오른쪽 끝 모서리 위에 있어야 합니다. 한 변의 길이를 1이라 하고, 맨 위 블록의 오른쪽 끝이 책상 모서리로부터 튀어나온 정도를 오버행(overhang) $O_n$이라 합시다.

(1) 위 규칙을 이용하여 $O_4$를 구하시오.

이를 일반화하면 $O_n=\dfrac12\left(1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1n\right)$입니다. ($O_n=O_{n-1}+\dfrac1{2n}$의 관계로부터 얻어짐)

(2) 맨 위 블록 하나가 책상 밖으로 '완전히' 벗어나려면(오버행이 블록 1개 길이, 즉 1 이상) 최소 몇 개의 블록이 필요할까?

(3) [탐구 확장] 블록 2개, 3개, 4개가 통째로 허공에 뜨려면 몇 개를 쌓아야 할까요? 오버행이 n(블록 n개 길이)이 되는 조건 $O_k\ge n$, 즉 $\tfrac12H_k\ge n$을 만족하는 최소 k를 아래에서 직접 계산해 보세요 (실제 계산기처럼 눌러서 확인합니다).

(모둠 활동) 실제 블록(또는 책) 6개 이상으로 쌓아, 무너지지 않는 범위에서 최대한 오버행을 길게 만들어 봅시다. 계산과 실제 결과를 비교해 봅시다.

곡선으로 둘러싸인 도형의 무게중심

원이나 삼각형처럼 공식이 알려진 도형과 달리, 매끈한 곡선으로 둘러싸인 도형은 어떻게 무게중심을 구할 수 있을까요? 아이디어 : 도형을 아주 얇은 직사각형 조각들로 잘게 쪼갭니다. 직사각형 하나하나는 이미 무게중심(가운데)을 알고 있으므로, 이 조각들을 다시 '입자들의 무게중심 공식'으로 합치면 전체의 무게중심을 근사할 수 있습니다.

반지름이 6인 반원 $y=\sqrt{36-x^2}$ $(-6\le x\le6)$의 무게중심을 근사적으로 구해 봅시다. (반원은 y축 대칭이므로 $\bar x=0$. $\bar y$만 구하면 됩니다.)

반원을 폭 $\Delta x=1$인 12개의 직사각형 조각으로 나누고, 각 조각의 중점 $\bar x_i$에서의 함숫값 $f(\bar x_i)=\sqrt{36-\bar x_i^2}$를 그 조각의 높이로 사용합니다 (조각 무게중심 높이는 직사각형이므로 정확히 절반 높이 $\tfrac12 f(\bar x_i)$).

(1) 12개 조각 전체 넓이의 합(근사 넓이)을 구하시오.

(2) 12개 조각 전체 모멘트의 합을 구하고, 이를 이용해 $\bar y$(반원 전체 무게중심의 y좌표)를 근사적으로 구하시오.

(3) [참고] 반지름 r인 반원의 무게중심은 실제로 $\bar y=\dfrac{4r}{3\pi}$라는 공식으로 알려져 있다(고등학교 교육과정 범위 밖의 결과이므로 참고만 한다). r=6일 때 이 값과 (2)에서 구한 근삿값을 비교해 보자.

3차시 전체 되돌아보기

우리는 이번 3차시 동안 무게중심을 다음과 같은 순서로 탐구했습니다.

1차시 도입에서 썼던 '나만의 무게중심 정의'를 다시 꺼내어, 지금 시점에서 최종적으로 수정해 봅시다. 오늘 탐구에서 가장 인상 깊었던 점이나 더 알고 싶은 점을 자유롭게 적어 봅시다.