증명 STEP 4~6 — 포락선의 양 끝을 확인하고, 세 꼭짓점에 대해 같은 논증을 반복해 델토이드형 곡선 전체를 완성합니다.
| 도입 | 4차시 STEP0~3 복습 | 5분 |
| STEP 4 | 포락선의 범위(끝점) 확인 — 중선과의 관계 | 10분 |
| STEP 5 | 포락선이 중선과 접하는 점 확인 | 10분 |
| STEP 6 | 세 꼭짓점 반복 → 델토이드 완성 | 10분 |
| 정리 | 일반 삼각형으로의 일반화 · 탐구 학습지 안내 | 15분 |
x가 움직이는 범위는 STEP1에서 구한 $x\in[1/2,1]$입니다. 이 양 끝값(x=1/2, x=1)에서의 직선은 어떤 특별한 직선인지 확인해 봅시다.
(1) x=1/2일 때 $y=1/(2x)$의 값은? 이때 P, Q는 각각 어떤 점입니까?
(2) x=1일 때 y의 값은? 이때 P, Q는 각각 어떤 점입니까?
STEP2의 ①식이 중근을 가질 때 그 중근은 $x=1/(4Y)$입니다(근의 공식에서 D=0인 경우). 이를 이용하면 접점의 좌표를 매개변수 x로 나타낼 수 있습니다 : $(X,Y)=(x/2, 1/(4x))$.
x=1/2와 x=1을 각각 대입하여 두 접점의 좌표를 구하고, 이 점이 각 중선을 몇 : 몇으로 내분하는 점인지 확인해 보시오. (힌트 : C에서 그은 중선은 C(0,1)과 AB의 중점(1/2,0)을 잇는 선분입니다.)
지금까지는 꼭짓점 A쪽에서 잘라낸 직선 가족만 살펴보았습니다. 완전히 같은 방법을 B, C에 대해서도 적용하면 다음 표와 같은 결과를 얻습니다.
| 가족 | 포락선(쌍곡선)의 점근선 | 접점1 (중선 중점) | 접점2 (중선 중점) |
|---|---|---|---|
| A쪽 가족 | 변 AB, 변 AC | (1/4,1/2) [C-중선] | (1/2,1/4) [B-중선] |
| B쪽 가족 | 변 BA, 변 BC | (1/4,1/2) [C-중선] | (1/4,1/4) [A-중선] |
| C쪽 가족 | 변 CA, 변 CB | (1/2,1/4) [B-중선] | (1/4,1/4) [A-중선] |
세 가족의 접점을 살펴보면, 세 점 (1/4,1/2), (1/2,1/4), (1/4,1/4)이 각각 정확히 두 가족씩 공유하고 있습니다! 즉 세 개의 쌍곡선 조각이 이 세 점에서 서로 만나 하나의 닫힌 곡선을 이룹니다 — 세 개의 오목한 호가 세 점에서 뾰족하게 맞닿는 모양, 바로 '델토이드형' 포락선입니다.
문제 1. 점 (3/8, 1/3)이 A쪽 포락선 XY=1/8 위에 있는지 확인하시오. 만약 위에 있다면, 이 점에 대응하는 매개변수 x의 값과 원래의 이등분선(점 P, Q의 좌표)을 구하시오.
문제 2. B쪽 가족과 C쪽 가족의 포락선 방정식을 STEP1~3과 같은 방법으로 직접 유도해 보시오. (힌트 : B쪽은 변 BA, BC 위에 점을 잡고 같은 과정을 반복합니다. 정답은 본문의 표에 있는 점근선 정보로 검산할 수 있습니다.)
문제 3 (토론). 삼각형의 어떤 직선도 세 변 중 정확히 두 변과 만난다(꼭짓점을 지나지 않는 한). 이 사실이 왜 '모든 넓이 이등분선은 반드시 A쪽, B쪽, C쪽 세 가족 중 하나에 속한다'는 결론으로 이어지는지 설명해 보시오.
4~5차시에서 우리는 오직 닮음·넓이비·판별식만으로 '넓이를 정확히 이등분하는 직선들의 자취'가 세 개의 쌍곡선 조각으로 이루어진 델토이드형 곡선임을 증명했습니다. 다음 6~7차시에서는 다시 3차시의 리만합으로 돌아가, 이번에는 적분이라는 도구로 반원·원뿔의 무게중심을 '정확히' 계산해 봅니다.
Part B를 마쳤습니다. 다음 시간부터는 Part C — 3차시의 리만합 근사를 정적분·이중적분으로 정확히 계산하는 여정이 시작됩니다.