선적분과 이중적분 — 고리와 반원판

기호 읽는 법 — 3차시 내용과의 대응

• ∫ (인테그럴) 기호는 '무한히 잘게 쪼갠 조각들을 모두 더한 것의 극한값'을 뜻합니다. 3차시에서 Δx를 한없이 작게 하며 조각의 개수를 늘렸던 과정 전체를 하나의 기호로 압축한 것입니다.
• dθ, dr, dz는 '극한적으로 0에 가까워지는 아주 작은 조각의 크기'를 의미합니다. 3차시의 Δx와 정확히 같은 역할이며, Δx→0인 극한 상황을 표기법으로 나타낸 것입니다.
• 즉 아래 예시들은 모두 3차시 활동2(반원의 무게중심 근사)의 '정확한 버전'입니다. 자세한 적분 계산 방법은 미적분Ⅱ에서 배우게 되므로, 지금은 결과와 흐름을 이해하는 데 집중합니다.

1차원 반원형 고리 (Semicircular Ring) — 선적분

반지름 R인 아주 얇은 반원 모양의 '철사 고리'를 생각해 봅시다. 철사의 선밀도(단위 길이당 질량) λ가 일정하다고 가정합니다.

고리 위의 한 점을 극좌표로 나타내면 $x=R\cos\theta, y=R\sin\theta$ $(0\le\theta\le\pi)$입니다. 이 점에서 각도가 dθ만큼 변할 때 움직인 거리(호의 길이)는 $ds=R\,d\theta$입니다.

이 조각 하나의 '높이'는 $y=R\sin\theta$입니다. 3차시에서 배운 무게중심 공식 「$\bar y=$ Σ(조각의 위치×조각의 크기) / Σ(조각의 크기)」에서 합(Σ) 대신 적분(∫)을 쓰면 다음과 같습니다.

2차원 반원판 (Semicircular Lamina) — 이중적분

이번엔 철사가 아니라 반원 모양의 얇은 '판'(면 전체에 밀도가 고르게 퍼진 도형)을 생각합니다. 3차시에서는 반원을 세로로 얇은 직사각형 조각으로 잘랐는데, 극좌표를 쓰면 반지름 방향(dr)과 각도 방향(dθ)으로 이루어진 작은 부채꼴 조각으로 자르는 것이 더 자연스럽습니다. 이 조각의 넓이는 $dA=r\,dr\,d\theta$입니다.

반지름 방향으로 먼저 더하고(안쪽 적분) 각도 방향으로 다시 더하는(바깥쪽 적분) 것이 '이중적분'입니다 — 조각을 두 단계로 쪼갠 것일 뿐입니다.

3차시 근삿값과의 비교

6차시에서는 3차시의 리만합 근사(ȳ≈2.536)를 정적분·이중적분으로 '정확히' 계산해 2R/π(고리)와 4R/3π(반원판)라는 두 값을 얻었습니다. 고리와 반원판의 무게중심이 서로 다르다는 점도 눈여겨봅시다 — 같은 반지름이라도 '어디에 질량이 있는지'(테두리뿐인지, 안까지 꽉 차 있는지)에 따라 무게중심의 위치가 달라집니다. 다음 시간에는 평면 도형을 넘어 입체(원뿔)까지 확장하고, 1차원·2차원·3차원 세 결과를 비교해 봅니다.