삼중적분 — 원뿔과 차원별 비교

3차원 입체 원뿔 (Solid Cone) — 삼중적분

이번엔 평면 도형이 아니라 입체 도형인 원뿔을 다룹니다. 높이 h, 밑면 반지름 R인 원뿔을 z축에 수직인 아주 얇은 원판들로 잘게 썹니다(원뿔 모양 케이크를 수평으로 얇게 써는 것과 같습니다).

밑면(z=0)에서 꼭짓점(z=h)으로 갈수록 원판의 반지름이 선형으로 줄어들므로, 높이 z에서의 반지름은 $r(z)=R(h-z)/h$입니다. 이 원판 하나의 부피는 $dV=\pi r(z)^2\,dz$입니다.

세 결과를 비교해보면 — 왜 값이 다를까?

1차원 고리는 모든 질량이 테두리(기준선에서 가장 먼 지점)에 몰려 있으므로 평균 위치(무게중심)가 가장 높습니다. 2차원 판은 테두리뿐 아니라 기준선에 가까운 안쪽 영역까지 질량이 채워져 있으므로 평균이 더 낮아집니다. 이는 2차시 활동3에서 '점의 무게중심'과 '면의 무게중심'을 비교했던 것과 똑같은 원리입니다 — 무게(질량)가 어디에 얼마만큼 분포되어 있는지가 무게중심의 위치를 결정합니다.

Part C 전체 정리

이 세 계산은 모두 '쪼개서 더한 뒤 극한을 취한다'는 3차시 리만합 활동과 완전히 같은 원리입니다. 다만 미적분Ⅱ에서 배우는 정적분·이중적분·삼중적분이라는 정확한 계산 도구를 사용했을 뿐입니다.

여러분이 3차시에서 표를 채워가며 손으로 구한 근삿값은, 사실 이렇게 정확한 값으로 수렴해 가는 과정의 한 단계였던 것입니다. 다음 8차시부터는 이 무게중심 개념이 실제 건축·조선·항공 공학에서 어떻게 쓰이는지 살펴봅니다.