△ADE 넓이
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직관에서 공리로 — 실생활 사례와 손으로 하는 실험, 그리고 반례를 통해 무게중심에 대한 첫 감각을 세웁니다.
| 단계 | 활동 | |
|---|---|---|
| 도입 | 명언 감상 및 '나만의 무게중심 정의' 써보기 | 5분 |
| 활동1 | 무게중심의 활용 사례 찾기 | 5분 |
| 활동2 | MDF 도형 무게중심 찾기 실험 | 10분 |
| 활동3 | 삼각형의 무게중심은 넓이 이등분점인가? (오개념 교정) | 15분 |
| 활동4 | 아르키메데스의 지렛대 공리와 시소 문제 | 10분 |
| 정리 | 정의 다시 써보기 및 차시 예고 | 5분 |
다음 명언들을 함께 읽어 봅시다.
오늘부터 3차시 동안 탐구할 '무게중심'에 대해, 지금 알고 있는(또는 짐작되는) 내용을 자유롭게 적어 봅시다.
1. 무게중심이란 무엇이라고 생각하나요?
아래 예시 중 무게중심과 관련 있다고 생각되는 상황을 하나 골라 체크하고, 그 이유를 짧게 써 봅시다.
MDF로 만든 다음 6개 도형을 아이스크림 막대(또는 얇은 자) 위에 얹어 균형이 잡히는 지점(무게중심)을 직접 찾아봅니다. 아래 카드를 클릭하면 실제 무게중심 위치를 확인할 수 있어요.
질문 : 어떤 도형의 무게중심을 찾는 것이 가장 어려웠나요? 그 이유는 무엇일까요?
A(0,6), B(−2,0), C(2,0)을 꼭짓점으로 하는 삼각형이 있습니다. 두 중선의 교점을 G, 직선 y=k가 변 AB, AC와 만나는 점을 각각 D, E라 합시다. 슬라이더로 k를 움직이며 △ADE와 사다리꼴 DECB의 넓이를 비교해 보세요.
① G의 좌표를 구하시오. ② △ADE와 사다리꼴 DECB의 넓이를 각각 구하고, 두 넓이가 같은지 비교하시오.
③ [탐구 확장] 그렇다면 꼭짓점 A와 대변 BC의 중점을 잇는 '중선' AM(M은 BC의 중점)은 넓이를 이등분할까? △ABM과 △ACM의 넓이를 비교해 확인해 봅시다.
(2) 넓이가 각각 2로 같은 두 삼각형이 한 꼭짓점에서 맞닿아 있는 나비 모양 도형이 있습니다. 이 도형 전체의 무게중심은 어디에 있을까요?
다음 7가지 공리를 함께 읽고, 시소 그림에 각 공리를 적용해 봅시다.
| 공리 | 내용 |
|---|---|
| 공리1 | 무게가 같은 두 물체는 받침점으로부터 같은 거리에서 평형을 이룬다. (거리가 다르면 거리가 긴 쪽이 아래로 기운다.) |
| 공리2 | 평형을 이루는 두 물체 중 한쪽에 무게를 더하면, 무게가 더해진 쪽으로 기운다. |
| 공리3 | 평형을 이루는 두 물체 중 한쪽에서 무게를 덜어내면, 반대쪽으로 기운다. |
| 공리4 | 닮은 두 도형의 무게중심은 닮음에 의해 서로 대응하는 위치에 있다. |
| 공리5 | 대칭축을 가진 도형의 무게중심은 반드시 그 대칭축 위에 있다. |
| 공리6 | 볼록도형의 무게중심은 그 도형 내부에 있다. |
| 공리7 | 두 도형 전체의 무게중심은 각 도형의 무게중심을 연결한 선분 위에 위치한다. |
[시소 문제] 받침점에서 왼쪽으로 x m 떨어진 곳에 40kg 학생이, 오른쪽으로 0.5m 떨어진 곳에 80kg 학생이 앉아 평형을 이루었다. 어떤 공리(들)로 이 상황을 설명할 수 있을까요? 아래 시소에서 직접 왼쪽 학생의 몸무게와 거리를 조절하며 평형점을 찾아보세요.
도입에서 썼던 '나만의 무게중심 정의'를 다시 꺼내어, 지금 시점에서 최종적으로 수정해 봅시다.
오늘은 무게중심을 '느낌'과 '공리'로 이해했습니다. 다음 시간에는 무게중심을 '숫자'와 '식'으로 정확히 계산해 봅니다 — 지렛대 원리를 공식화하고, 좌표평면 위 도형의 무게중심 공식을 유도합니다.