정적분으로 완성하는 무게중심

되짚어보기

3차시에서는 반지름 6인 반원 $y=\sqrt{36-x^2}$을 폭 1인 직사각형 12조각으로 근사하여 ȳ≈2.536을 얻었고, 6차시에서는 극좌표 이중적분으로 정확한 값 $4R/(3\pi)$(R=6일 때 $8/\pi\approx2.546$)를 얻었습니다.

이 두 값이 왜 이렇게 가까운지는 이미 배운 대로입니다 — 리만합은 조각 수를 늘릴수록(n→∞) 정적분값에 가까워지기 때문입니다. 오늘은 이중적분(면 전체를 각도·반지름으로 쪼갬) 대신, 여러분이 3차시부터 이미 다뤄온 '세로로 얇게 썬 직사각형 조각'의 아이디어를 그대로 살려 단일 정적분만으로 같은 값을 얻는 방법을 배웁니다.

단일 정적분으로 반원의 무게중심 구하기

[문제] 좌표평면에서 반지름의 길이가 r인 반원 $y=f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ $(-r\le x\le r)$에서, 밀도가 3으로 균일한 반원판의 모멘트와 무게중심을 구하여라.

3차시에서 폭 $\Delta x$인 직사각형 조각 하나의 '자기 무게중심 높이'는 $\tfrac12 f(\bar x_i)$였습니다(직사각형은 절반 높이가 중심). 이 조각의 무게(질량)에 조각의 무게중심 높이를 곱해 모두 더한 것이 모멘트였습니다. 이제 $\Delta x\to0$인 극한을 취해 합(Σ)을 적분(∫)으로 바꾸고, 밀도 ρ=3을 곱해 봅시다.

(1) $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$이므로 $\{f(x)\}^2=r^2-x^2$이다. 그리고 $r^2-x^2$은 짝함수(우함수)이므로 $-r$부터 $r$까지의 적분은 0부터 r까지 적분의 2배이다. 이를 이용해 $M_x$의 식을 0부터 r까지의 적분으로 바꾸어 써 보자.

(2) $\displaystyle\int_0^r(r^2-x^2)dx$를 직접 계산하시오.

(3) 반원의 넓이 $S=\tfrac12\pi r^2$이므로, 밀도 3인 반원판의 질량 m을 구하고, 이를 이용해 무게중심 $(\bar x,\bar y)$를 구하시오. ($\bar x$는 대칭성으로 바로 판단할 수 있다.)

파푸스(Pappus)의 정리로 검산하기

적분 없이도 반원의 무게중심을 빠르게 검산하는 방법이 있습니다. 반원(넓이 A)을 자신의 지름(대칭축)을 축으로 한 바퀴 완전히 회전시키면 구(공)가 만들어집니다.

반지름 r인 반원을 지름(축)을 중심으로 한 바퀴 돌리면 반지름 r인 구가 만들어집니다. 구의 부피 공식과 반원의 넓이 공식을 이용해, 위 정리의 식에 대입하고 $\bar y$에 대해 풀어 보시오.

오버행 실험, 이론과 실전은 왜 다를까? — 실전 보정율

오버행 실험(3차시·12차시)에서 우리는 이론적으로 $O_n=(L/2)(1+\tfrac12+\cdots+\tfrac1n)$를 유도했고, $O_n\ge L$을 만족하는 최소 블록 개수를 계산했습니다(L=30cm 실험에서는 n=4). 그런데 실제로 나무블록을 손으로 밀어 쌓아 보면, 이론값만큼 정확히 밀어내기가 매우 어렵습니다. 왜 그럴까요?

실제 현장에서는 이런 오차를 감안해 이론값에 '보정율'을 곱한 값을 실전 목표로 삼는 경우가 많습니다. 보정 오버행 = 이론 오버행 × (1 − 보정율).

(1) 보정율 7%를 반영하면, 조건 $O_n\ge L$, 즉 $\tfrac12H_n\ge1$이었던 것을 보정 후 조건으로 다시 쓰시오.

(2) $H_3\approx1.833$, $H_4\approx2.083$, $H_5\approx2.283$을 이용해, 보정율 7%를 반영했을 때 최소 몇 개의 블록이 필요한지 구하시오.

15차시 및 압축 특강 전체 되돌아보기

15차시(그리고 압축 3차시 특강) 전체를 관통한 한 문장을 완성해 봅시다 : 무게중심은 결국 _____________________________ 이다.