넓이 이등분선의 가족과 포락선

되짚어보기 — 1차시 활동3의 질문

1차시 활동3에서 우리는 삼각형 A(0,6), B(−2,0), C(2,0)에서 무게중심 G(0,2)를 지나는 수평선 y=2가 넓이를 16/3 : 20/3(=4:5)으로 나눈다는 것, 즉 이등분하지 '않는다'는 것을 확인했습니다. 그렇다면 자연스러운 질문이 생깁니다.

이 질문의 답이 바로 '포락선(envelope)'입니다 — 한 가족(family)의 직선들 모두에 접하는 곡선을 말합니다. 지금부터 표준적인 삼각형 하나를 이용해 이 포락선의 정체를 직접 증명해 봅시다.

직선의 가족을 만들어보자

계산을 간단히 하기 위해 A(0,0), B(1,0), C(0,1)인 표준 삼각형을 사용합니다. (증명이 끝난 뒤, 이 결과가 '모든' 삼각형에 대해 성립하는 이유도 설명합니다.)

변 AB 위의 점 P=(x,0) (0<x≤1)과 변 AC 위의 점 Q=(0,y) (0<y≤1)를 잡아 선분 PQ를 긋습니다. 이 선분은 삼각형 ABC에서 꼭짓점 A쪽의 작은 삼각형 APQ를 잘라냅니다.

넓이 조건 구하기

(1) 삼각형 APQ의 넓이를 x, y로 나타내면 얼마입니까? (힌트 : 밑변 x, 높이 y인 직각삼각형)

(2) 삼각형 ABC 전체의 넓이는 얼마입니까?

(3) 직선 PQ가 삼각형 ABC의 넓이를 정확히 이등분하려면 x, y 사이에 어떤 관계식이 성립해야 합니까?

직선의 방정식을 매개변수 x로 나타내기

점 P(x,0), Q(0, 1/(2x))를 지나는 직선을 절편형 방정식 $X/(x절편)+Y/(y절편)=1$로 쓰고, $y=1/(2x)$를 대입하여 정리해 봅시다. (X, Y는 이 직선 위의 임의의 점의 좌표입니다.)

판별식으로 포락선 방정식 구하기 — 이 학습지의 핵심!

어떤 점 (X,Y)를 딱 하나의 직선만 지나간다면 그 점은 '포락선(경계)' 위에 있는 것이고, 두 개의 직선이 지나간다면 그 점은 직선 가족이 휩쓸고 지나가는 영역의 '안쪽'에 있는 것입니다. 즉 ①을 x에 대한 이차방정식으로 볼 때 :

• 서로 다른 두 실근(D>0) → 그 점을 지나는 직선이 2개 → 영역의 내부
• 중근(D=0) → 그 점을 지나는 직선이 정확히 1개(접함) → 포락선 위의 점!
• 허근(D<0) → 그 점을 지나는 직선이 없음 → 영역의 바깥

①식 $2Yx^2-x+X=0$ (x에 대한 이차방정식)의 판별식 D를 X, Y로 나타내고, D=0을 정리해 포락선의 방정식을 구하시오.

4차시 정리

4차시에서는 삼각형 A(0,0), B(1,0), C(0,1)에서 꼭짓점 A쪽 넓이 이등분선의 가족을 이차방정식 $2Yx^2-x+X=0$으로 정리하고, 그 판별식 D=0으로부터 포락선의 방정식 $XY=1/8$을 얻었습니다. 다음 시간에는 이 포락선의 양 끝이 어디인지, 그리고 B·C쪽 가족까지 모두 살펴 델토이드를 완성합니다.