이차함수의 미분계수

손실함수의 경사를 어떻게 나타낼까?

인공지능은 손실함수의 정확한 최솟값을 구하는 대신, 경사하강법에 따라 반복적인 계산으로 최솟값에 충분히 가까운 값을 찾아갑니다. 경사하강법의 원리를 이해하려면 먼저 '경사'에 해당하는 수학적 개념인 미분계수를 알아야 합니다.

함수의 극한과 접선

함수 $f(x)$에서 $x$의 값이 $a$가 아니면서 $a$에 한없이 가까워질 때, $f(x)$의 값이 일정한 값 $\alpha$에 한없이 가까워지면 함수 $f(x)$는 $\alpha$에 수렴한다고 합니다. 이때 $\alpha$를 $x=a$에서 함수 $f(x)$의 극한값이라 하고 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\alpha$와 같이 나타냅니다.

이차함수 $y=f(x)$의 그래프 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm{P}(t,f(t))$, $\mathrm{Q}(t+h,f(t+h))$에 대하여 $h\to0$이면 점 Q가 곡선을 따라 점 P에 한없이 가까워지고, 직선 PQ는 점 P를 지나는 어떤 직선 $l$에 한없이 가까워집니다. 이 직선 $l$을 점 P에서 곡선에 접하는 접선이라고 합니다.

이차함수의 미분계수의 뜻

이차함수 $y=f(x)$의 그래프 위의 점 $\mathrm{P}(t,f(t))$에서 접하는 접선의 기울기를 이차함수 $y=f(x)$의 $x=t$에서의 미분계수라 하고 $f'(t)$로 나타냅니다.

예를 들어 이차함수 $f(x)=(x-3)^2+1$의 그래프 위의 점 A, B, C, D, E ($x$좌표 1, 2, 3, 4, 5)에서 그은 접선의 기울기를 비교하면 $f'(1)

이차함수의 미분계수 계산기

이차함수 $f(x)=ax^2+bx+c$의 $x=t$에서의 미분계수는 극한의 정의로부터

$f'(t)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(t+h)-f(t)}{h}=\lim_{h\to0}(ah+2at+b)=2at+b$

로 계산됩니다. 아래에서 $a, b, c, t$ 값을 바꾸며 미분계수와 접선을 확인해 보세요.

$f(x)=x^2-4x+5$이면 $f'(t)=2t-4$이므로 $f'(1)=-2, f'(2)=0, f'(3)=2$입니다. 슬라이더를 $t=1,2,3$으로 옮기며 확인해 보세요.