주사위 2개 · 바둑돌 11개 · 확률 한 그릇
2부터 12까지 놓인 징검돌 위에 바둑돌을 나눠 놓고, 주사위 두 개의 합이 부르는 자리에서 하나씩 강을 건넙니다. 놓는 순간 승부의 절반이 끝납니다.
7이 제일 잘 나온다.
그런데 7에 다 몰면 진다.
소개
주사위를 굴리는 데는 실력이 필요 없습니다. 이 게임에서 사람이 결정하는 것은 딱 하나 — 바둑돌 11개를 어디에 놓을 것인가. 굴리기 시작하면 남은 건 확률뿐입니다.
강 이쪽 편이 내 구역. 2~12 위에 돌을 마음대로 나눠 놓습니다.
두 주사위의 결과는 36가지. 합이 7인 경우가 6가지로 가장 많고, 2와 12는 각 1가지뿐입니다. 그렇다고 7에 몰아 놓으면? 한 번 굴려 건너는 돌은 딱 한 개라서 크게 손해입니다.
짝과 하는 2인 대전, 혼자 하는 컴퓨터 대결(초보·고수), 그리고 게임을 마친 뒤 아래 두 패널을 펼쳐 배치의 근거를 계산으로 확인하는 탐구.
규칙
준비물 주사위 2개, 흰 바둑돌 11개, 검은 바둑돌 11개 (종이와 실물로도 그대로 할 수 있습니다)
해보기
먼저 바둑돌 11개를 놓고, 다 놓았으면 주사위를 굴립니다.
탐구
게임을 먼저 해 본 뒤 펼쳐 보세요. 두 패널 모두 지금 판의 상황을 그대로 씁니다.
두 주사위를 굴렸을 때 나올 수 있는 경우는 모두 36가지이고, 모두 똑같이 나올 가능성을 가집니다. 합이 7인 경우가 6가지로 가장 많고, 2와 12는 각각 1가지뿐입니다. 파란 막대가 이론값, 빨간 막대가 이 페이지에서 실제로 굴린 결과입니다. 많이 굴릴수록 두 막대가 닮아 갑니다.
이론 확률실제 굴림 0회
↑ 가로는 흰 주사위, 세로는 붉은 주사위. 칸의 색이 진할수록 그 합이 나오는 경우가 많은 수입니다. 대각선으로 같은 수가 늘어선 것이 보이나요?
1단계 · 돌 하나가 건널 확률. 내 차례는 9번. 수 s가 나올 확률을 p라 하면, s 위의 돌 하나가 건널 확률은 “한 번도 안 나오지 않을 확률”, 즉 1 − (1−p)9 입니다.
2단계 · 두 번째 돌은 사정이 다릅니다. 한 번 굴려 건너는 돌은 한 개뿐이라, s에 놓은 두 번째 돌이 건너려면 s가 두 번 이상 나와야 합니다. 그래서 같은 자리에 돌을 쌓을수록 한 개당 효율이 뚝뚝 떨어집니다.
| 수 | 확률 | 1번째 돌 | 2번째 돌 | 3번째 돌 |
|---|
3단계 · 이득이 큰 순서대로 한 개씩. 위 표의 값이 곧 “그 자리에 돌 한 개를 더 놓았을 때 늘어나는 기대 개수”입니다. 값이 큰 칸부터 11개를 차례로 채우면 그것이 최적 배치입니다.
4단계 · 내 배치와 견줘 보기. 판에 놓인 아래 구역의 배치로 계산한 값입니다.
단위는 “건널 것으로 기대되는 바둑돌 개수”. 전부 7에 몰면 왜 그렇게 나쁜지, 2와 12를 왜 비워 두는지가 숫자로 드러납니다.